[rasskazov]

Покопался с настройками и пришёл к нужному мне результату.

Решение:
1. Наводим на нужным нам ящик (в дереве The Bat!);
2. Меню Ящик -> Настройка сортировщика писем... или Shift + Ctrl + S
3. Входящие письма -> Ins.
4. В блоке Условие назначаем правилу имя, в поле Отправитель оставляем пустое значение (означает что для всех входящих; до этого ставил * -- не срабатывает).
5. В блоке Действия добавить Переадресовать; в поле Перенаправить письмо указать на который требуется пересылать (public@gmail.com).
6. По итогу все письма будут приходить на батовский ящик и автоматом отправляться на public@gmail.com

P.S.: Буду рад услышать иные решения в этом почтовом клиенте.