[artenaki]

И только когда включен режим Всё, появляется что-то непонятное»

На скрине видно, что видео загружается частями в формате ts (инициатор Java Script), обычное дело в современном вебе. Такое только спец. решениями нужно скачивать, которые умеют автоматически склеивать. Я бы посоветовал попробовать youtube-dl, но у вас скорее всего с авторизацией, хотя ее можно указывать и в youtube-dl (это просто название такое, а прога универсальная). Но обычно в таком случае проще расширением.

Я так понял, есть только платные версии»

Почему же? Другое дело, что раньше (во времена XUL) расширение умело больше. Старая версия в Pale Moon, например, у меня справлялась лучше (на приватных видео dailymotion).