[dislike]

В итоге я подключил SSD и жесткий диск. На материнке есть ещё 2 SATA. А у блока питания закончились провода для подключения новых дисков. Как эти провода называются? »

Так и называются - SATA. Их количество - неотъемлемая часть характеристик любого продаваемого БП.

1 x 24-pin ATX »

Это самый большой разъем - питание материнки.

1 x 8-pin ATX 12 В »

Это питание процессора, разъем в верхней части платы, чуть поменьше. Питание процессору нужно обязательно, без него не будет работать. Блоков питания "только 24 pin" не может быть, "24+4" должно быть как минимум. Некоторые матери+процессоры могут работать на питании 4pin, некоторые могут и 4pin и 8pin, но лучше подключать 8pin, если есть такой разъем, так надежнее и нагрузка сбалансирована лучше.

И стоит ли мне сейчас вообще менять БП? »

А нам откуда знать?

А у блока питания закончились провода для подключения новых дисков. »

Если вам принципиально нужно больше проводов, можно не менять аж целый блок питания, а тупо найти разветвители.
https://www.dns-shop.ru/product/a1c9...ata---sata-x2/