[Drongo]

Передавать в функцию нужно одномерный массив - построчно.
Делать надо в одном цикле.
break заменить на continue

Код:

...
  const int rows = 3;  
  const columns = 4;

  int array[rows][columns] = {0};

  for(int i = 0; i < rows; i++)
     cout << sumofmodules(array[i], columns);
...

int sumofmodules(int array[], int column)
{
   int total = 0;
   for(int i = 0; i < column; i++){
      // Сюда исключение
      // чтобы считало отдельно для каждой строки, и не учитывало этот самый первый положительный элемент?
      total += array[i];
     }

 return total;
}