Спасибо!
Поезд тронулся
Только пришлось сначала подключить MySqlData.dll
Также пришлось вынести значения в отдельные переменные
Код:

Add-Type -Path 'C:\Program Files (x86)\MySQL\MySQL Connector Net 6.4.5\Assemblies\v2.0\MySql.Data.dll'
$connectionString = "Server=myServerAddress;Port=3306;Database=SeamansBook;Uid=myUsername;Pwd=myPassword;"
$connection = New-Object MySql.Data.MySqlClient.MySqlConnection
$connection.ConnectionString = $connectionString
$connection.Open()
$sql = New-Object MySql.Data.MySqlClient.MySqlCommand
$sql.Connection = $connection
$RusFull = 'Gazprom'
$ID = '1'
$sql.CommandText = "UPDATE Shipowner SET shipownerRusFull = $RusFull WHERE itemId = $ID"
$sql.ExecuteNonQuery()
Правда все равно ругается и с этим пока сам разобраться не смог:
Исключение при вызове "ExecuteNonQuery" с "0" аргументами: "Unknown column 'Gazprom' in 'field list'"
C:\SeamansBook.ps1:13 знак:21
+ $sql.ExecuteNonQuery <<<< ()
+ CategoryInfo : NotSpecified: (

[], MethodInvocationException
+ FullyQualifiedErrorId : DotNetMethodException
Я так понял, что он пытается найти поле Gazprom, а не вписать значение Gazprom в поле shipownerRusFull...
А вот почему - еще не знаю...