[Angry Demon]

По-идее то должно быть так, что при включении ip адрес присваевается заново.

Именно так, причём, он будет тем же, что и был до выключения, если не истёк срок аренды.

Когда объяснили тётеньке ситуацию с одинаковыми ip, она даже не задумываясь ответила, что это сетевая карта на компе виновата, говорит драйвер старый ну и т.д. и т.п.

Бред.

Так вот сам вопрос - ip присваевается самим роутером или сеткарта сама решает, каким он будет?

IP-адрес присваивается роутером из диапазона выделенных для DHCP-пула адресов. Присваивается и отслеживается по MAC-адресу (физическому адресу сетевой карты.)

По поводу - вручную ввести ip адрес, пробовал, итернета нет

Там нужно не только адрес вводить, но и шлюз, и DNS-серверы.