[Angry Demon]

включать ли машину-шлюз в домен?

Насколько я понимаю, только тогда можно будет использовать режим доменной аутентификации Windows в TMeter.

Повысит ли это безопасность моего ДК из интернета?

Нет.

Стоит ли исключать роутер из этой связки, или так и оставить его "на входе": интернет-роутер-шлюз. Или в нем уже не будет необходимости?

В роутере не будет необходимости. Его функции будет выполнять компьютер. Да и зачем городить огород с двойным NAT?

Каким образом доступаться к серверу через шлюз?

Настроить в TMeter файрволл и NAT на доступ к службам локальной сети. Всё описано в документации.