[Blast]

выйдя на любой из страниц форума, на всех других страницах этого же сайта, поле ввода имени становится пустым »

ссылку на такой форум можно?

поведение браузера не разнится в данном случае в зависимости от форума/сайта - описаннае вами ситуация стандартна
вы выходите на одной странице, но при этом остальные открытые страницы форума естественно не обновляются (перезагружаются), а остаются открытыми в том виде, в котором вы их открывали, то есть визуально вы авторизованы на странице, но если вы обновите такую страницу после выхода на другой, то увидите, что и на этой авторизация не выполнена, отсюда и

выйдя на одной из странице, понадобилось отметить одно из сообщений "полезное", так выскочило окошко, что "вы не авторизованы" »