[a_axe]

rasskazov, the bat под рукой нет, но интернет пишет такой порядок:

Откройте The bat и щелкните на вкладке «Сервис». Выберите «Настройки почтового ящика» из выпадающего списка. В окне настроек выберите вкладку «Переадресация» и нажмите на кнопку «Добавить». Введите адрес электронной почты, на которую вы хотите перенаправить входящие сообщения, и нажмите «ОК». Теперь все входящие письма будут автоматически переадресовываться на указанный адрес.

Как я понимаю, кроме этого можно настроить правила по пересылки, это второй метод (вот в аутлуке пересылка настраивается именно так).

[rasskazov]

Покопался с настройками и пришёл к нужному мне результату.

Решение:
1. Наводим на нужным нам ящик (в дереве The Bat!);
2. Меню Ящик -> Настройка сортировщика писем... или Shift + Ctrl + S
3. Входящие письма -> Ins.
4. В блоке Условие назначаем правилу имя, в поле Отправитель оставляем пустое значение (означает что для всех входящих; до этого ставил * -- не срабатывает).
5. В блоке Действия добавить Переадресовать; в поле Перенаправить письмо указать на который требуется пересылать (public@gmail.com).
6. По итогу все письма будут приходить на батовский ящик и автоматом отправляться на public@gmail.com

P.S.: Буду рад услышать иные решения в этом почтовом клиенте.