FQDN и маршруты - два решения. Только я недочитал, что у Вас web-сервер только с одной сетевой.
Тогда нужно настроить маршрутизацию (RRAS) между сетями на сервере с двумя сетевыми картами.
Если в 108 сети есть маршрутизатор, но на нем пропишите маршрут в подсеть 192.168.1.0/24.
Если маршрутизатора нет, то на каждом компьютере нужно выполнить команду:
Код:

route add 192.168.1.0 mask 255.255.255.0 192.168.108.250 -p
либо задайте 192.168.108.250 как шлю по-умолчанию.
PS: написали бы Вы как эти сети между собой соединены (кроме этого сервера)... наверняка есть выход в Интернет, т.е. есть маршрутизаторы и т.п. Было бы проще... а то гадать приходится

PS2: можно еще на web-сервер поставить вторую сетевую (в этом сценарии - см. мой предыдущий пост).