Компьютер не включается если после отключения не выключить из сети.
 

То есть если я вечером его выключу и не вырублю из сети, то с утра при включении он тут же будет гаснуть и снова пытаться запуститься и снова гаснуть и так без остановки, а если выключить его из сети (или просто нажать кнопку на БП) всего на минуту, то всё заработает нормально. Получается что-то аналогичное не заводящемуся автомобилю: поворачиваешь ключ зажигания двигатель пыжится, но не заводится и так раз за разом.
Компьютер тот, что в профиле указан.

Проверьте методом отключения всех устройств, ненужных для запуска, особенно USB.
Если среди них не найдется виновник, то первый кандидат на замену - БП. Второй - МП. Осмотрите конденсаторы там и там на вздутие.

Также возможна проблема с залипанием кнопок системного блока, либо какое-то КЗ на корпус - проверяется запуском разобранного компа "на столе".

Однозначно конденсаторы в БП, села емкость, при включении она практически закорачивается на коротко почему и происходит сбой в перезагрузке.
Разбери БП, сделай список, и в магазин. Запомни в БП электролитические конденсаторы высоко частотные, лучше брать иностранные. Менять надо все однозначно. Их там не много штук восемь, к стати и пыль выдуешь сразу.
Это гораздо дешевле чем менять весь БП.

ziku, в БП SeaSonic Gold 550 W как минимум еще лет 10 ничего менять не надо.

Это да, но тем не менее симптом похож именно на неисправность БП

Но он так работает уже почти 2 года, неужели за это время это вздутие не перешло бы во что-то большее?

Тогда я бы посоветовал вам обновить биос платы, за 2 прошедших года выпущено достаточно версий с разными исправлялками.

trueseeshka, Всё-таки не поленитесь и посмотрите на конденсаторы БП. 2 года вполне достаточный срок для того, чтобы комплектующие начали выходить из строя.

Ситуация немного похожа на срабатывание защиты в БП после ночных бросков в сети питания. Пока шнур не отключил защита не отключится (даже тумблер на БП не помогает). Но в этом случае запуск ПК вообще не происходит. Хотя я наблюдаю только старенькие FSP может у новых как то иначе это выглядит?

И тут выяснилась новая проблема - клавиатура начинает работать только после появляения значка windows, а после появления рабочего стола раздаётся звук подключённого устройства, то есть в биос никак не попасть. При чём я пробовал подключать разные клавиатуры ко всем портам, но эффект один и тот же, а вот мышь загорается сразу после подачи питания.

trueseeshka, подключайте pc/2 клавиатуру.

trueseeshka, в BIOS нужно включить "Native Support" (так вроде) , чтобы USB клавиатура работала сразу.