1. Публичный ("белый") адрес эквивалентен почтовому адресу, в котором указана страна, город, улица, номер дома и номер квартиры. И по этому уникальному для каждого адресата адресу письма до вас всегда дойдут (если не потеряются в дороге).

2. Частный ("серый") адрес — это лишь часть полного адреса: то же самое, но без указания страны, города и улицы (которые в данном случае определяются провайдером и различны у каждого провайдера). И вы знаете только номер дома и номер квартиры. И если вам, находящемуся в Москве на Ленинском Проспекте в доме 189 в квартире 149 живущий там скажет, что Иванов живёт в доме 1, квартире 172 — вы без труда его найдёте выйдя на улицу и пройдя или проехав по ней до дома 1 и поднявшись в квартиру 172.

2а. Но вот если вы перебрались на соседний Проспект Вернадского, то при попытке найти Иванова в доме 1, квартире 172 без использования знаний об улице вас ждёт жестокий облом: такой квартиры в этом доме на этой улице вообще может не не существовать, не говоря уж о том, что даже если существует, то вашего Иванова в ней абсолютно точно не будет.

2б. Ваш вариант: на новой улице существует и такой же номер дома, и такой же номер квартиры в нём. Вы идёте по этому частному адресу "Номер дома - номер квартиры" и видите, что в её окнах горит свет (== пинг, т.е. экспресс-проверка того, что здесь хоть кто-то живёт, проходит). Радостно поднимаетесь, звоните — и падаете в обморок: дверь вам открывает не Иванов, а Барак Обама. Оказывается его частный адрес полностью совпадает с частным адресом Иванова.

3. Ваше "10.189.0.149 PPPoE-178.67.142.239" означает, что когда вы посылаете письмо по публичному адресу 178.67.142.239, то оно приходит к вам не сразу: сначала оно попадает к привратнику, живущему в городе провайдера, тот сверяет принятый адрес с имеющемся у него постоянно обновляемым списком (адрес-то у вас динамический, т.е. может меняться провайдером без согласования с вами), и если в этом списке значится, что этот адрес в данный момент принадлежит вам — то переправляет письмо во вашему частному адресу 10.189.0.149.

4. Проброс портов означает, что если в при запросе извне не по инициативе какого-либо внутреннего компьютера кроме адреса указан ещё и номер порта, например 178.67.142.239:22, то уже ваш роутер смотрит, кто живёт в комнате 22, и если он есть в списке перенаправления портов, то доставляет это пакет соответствующему компьютеру. Если такого номера порта в списке нет — то входящий пакет отправляется в мусорную корзину.

Если же роутер получает пакет извне в ответ на инициативу — то он по служебным заголовкам ответа сразу узнаёт, кто из жильцов проявил эту инициативу, и перенаправляет этот ответ кому надо без специальных на то указаний (т.е. осуществляется динамический проброс портов).